Ist das Weltall grenzenlos? Können
Mathematiker das Unendliche in Formeln bändigen? Über seine
Natur zerbrechen sich Philosophen, Wissenschaftler und Theologen
seit Jahrtausenden den Kopf
von Norbert Lossau
Blick zurück: das Weltall vor 13 Milliarden Jahren
Foto: dpa
Der nächtliche Sternenhimmel hat die Menschen schon immer tief
berührt und zum Nachdenken angeregt. Wie viele Sterne gibt es?
Ist das Weltall unendlich groß? Diese Fragen drängen sich beim
Blick in das unermeßlich scheinende Schwarz des mit funkelnden
Sternen gesprenkelten Himmels geradezu auf. Doch weder ein
unendliches All noch ein räumlich begrenztes Universum können
wir uns so recht vorstellen.
 "Zwei
Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit",
scherzte einmal Albert Einstein, "aber bei dem Universum bin ich
mir noch nicht ganz sicher." Und bis heute sind sich die
Wissenschaftler in dieser Frage nicht ganz sicher. Akzeptiert
man das Urknallmodell, dann kann sich das Weltall in den 13,7
Milliarden Jahren seiner bisherigen Existenz nur bis zu einer
bestimmten Größe aufgeblasen haben. Der Radius des sichtbaren
Weltalls beträgt demnach maximal 13,7 Milliarden Lichtjahre, und
es wäre damit endlich. Jenseits dieses Volumens läge eine
grundsätzlich unvorstellbare Terra incognita. Dennoch fragt der
menschliche Geist weiter: Was liegt hinter dem Rand unseres
Universums, wenn es endlich sein sollte?
Die meisten Astrophysiker sind derzeit davon überzeugt, daß sich
das Universum immer weiter ausdehnt und es damit zumindest
perspektivisch unendlich ist. Noch vor wenigen Jahren wurde eine
andere Theorie diskutiert: Wenn die Masse im Weltall einen
bestimmten Wert überschreiten sollte, dann würde die derzeit zu
beobachtende Expansion des Universums aufgrund der
Gravitationskräfte irgendwann zum Stillstand kommen.
Anschließend könnte es gar wieder in sich zusammenstürzen. Die
Entdeckung der sogenannten dunklen Materie und die ebenfalls
recht frische Erkenntnis, daß Neutrinos - winzige
Elementarteilchen, die überall in Sternen produziert werden -
nicht massefrei sind, sprachen für diese Theorie eines "Zurück
zum Urknall" und einer Endlichkeit des Alls. Diese Sicht der
Dinge hatten Gelehrte bereits in der Antike vertreten - ganz
ohne Teleskope und Forschungssatelliten. Aristoteles glaubte an
ein endliches Universum, das allerdings von einer unendlichen
Leere umgeben sein sollte.
Doch im Moment liegen die Astrophysiker wieder eher auf der
Linie des Philosophen Immanuel Kant, der in seiner Königsberger
Studierstube zu der Überzeugung gelangte, daß das Universum
unendlich sei. Erst vor wenigen Jahren entdeckten Forscher die
überaus mysteriöse "dunkle Energie", die gleichförmig im Weltall
verteilt ist und wie eine Antigravitationskraft wirkt. Damit
wird die Anziehungskraft der sichtbaren und unsichtbaren Materie
überkompensiert: Das All dehnt sich unendlich aus. "Das ewige
Schweigen dieser unendlichen Räume erschreckt mich", hatte schon
im 17. Jahrhundert der französische Philosoph Blaise Pascal
formuliert. Und Johann Wolfgang von Goethe erschauderte: "Wo faß
ich dich, unendliche Natur."
Das ungezwungenste Verhältnis zum Unendlichen haben zweifelsohne
die Mathematiker, die sich nicht einmal davor scheuen, in ihren
Formeln ein Symbol für "unendlich" zu verwenden: . Vor genau 350
Jahren, also 1656, erfand der britische Mathematiker John Wallis
dieses Zeichen. Möglicherweise hat er sich dabei von einem
mythologischen Bild inspirieren lassen, das schon 1600 vor
Christus bekannt war: eine zu einer Acht gewundene Schlange, die
sich in den eigenen Schwanz beißt.
In der Welt der Mathematik stößt man unweigerlich auf das
Phänomen des Unendlichen. Man muß kein Gelehrter sein, um zu
erkennen, daß die Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 ...
offenbar nicht endet und man zu jeder Zahl n eine Zahl n+1
finden kann, die noch größer ist als n. Kurzum: Es gibt
unendlich viele natürliche Zahlen, und es bereitet den meisten
kein Kopfzerbrechen, dies zu akzeptieren. Schwieriger einzusehen
ist es schon, daß die Menge der natürlichen Zahlen nicht größer
ist als die Menge der natürlichen, durch zwei teilbaren Zahlen
2, 4, 6, 8, ... Intuitiv könnte man vermuten, daß die eine
Unendlichkeit doppelt so mächtig ist wie die andere. Doch zwei
mal bleibt , ebenso wie zwei mal null unverändert null ist. Die
Null und das Unendliche sind ohnehin eng miteinander verbandelt.
Ein indischer Mathematiker erkannte bereits im Jahre 678, daß
man auf das Unendliche stößt, wenn man eine beliebige Zahl durch
null teilt. Deshalb ist es verboten, Zahlen durch null zu teilen.
Probieren Sie das ruhig einmal mit Ihrem Taschenrechner. Er wir
ihnen "Error" melden oder bestenfalls "" anzeigen.
Viele Bereiche der Mathematik sind von einer Aura des
Unendlichen umgeben. Da werden Schwingungen jeder Art als Summe
von unendlich vielen Sinuskurven dargestellt oder Grenzwerte von
unendlich langen Zahlenfolgen berechnet. Und die berühmte Zahl
zieht auch deshalb soviel Aufmerksamkeit auf sich, weil sie eine
nicht endende, unendlich lange Folge von Dezimalstellen birgt.
Neben dem unendlich Großen beherrschen die Mathematiker auch das
unendlich Kleine, mit dem sie beispielsweise in der
Differentialrechnung ebenso ungeniert umgehen. An den
Berührungspunkten von unendlich klein und unendlich groß wird es
dann besonders spannend. So stellt sich beispielsweise bei der
schlichten Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ... die Frage, ob das
Ergebnis dieser unendlichen Rechenaufgabe eine bestimmte Zahl,
ein sogenannter Grenzwert, ist oder ob die immer kleiner
werdenden Summanden in ihrer unendlichen Folge schließlich doch
noch den Sprung in die Unendlichkeit schaffen. Der französische
Bischof Nikolaus von Oresme fand im Jahre 1350 als erster die
Antwort: Diese Summe ist unendlich groß. Quadriert man jedoch
die Nenner, so gelingt es den unendlich vielen Summanden 1 + 1/4
+ 1/9 + 1/16 + ... nicht mehr, die Hürde zur Unendlichkeit zu
überwinden. Die Summe ist dann erstaunlicherweise 1/6 2, wie
Leonhard Euler (1707-1783) zeigen konnte.
Als Großmeister der Unendlichkeit gilt indes der Mathematiker
Georg Cantor (1845-1918). Ihm gelang der Beweis, daß es
verschiedene, unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt. So
gibt es zum einen "kleine" unendliche Mengen, die als "abzählbar
unendlich" bezeichnet werden. Prototyp dafür sind die
natürlichen Zahlen. Cantor zeigte jedoch, daß es auch unendliche
Mengen gibt, die in einem prätzisierbaren Sinn "größer", also "überabzählbar
unendlich" sind. Und er setzte noch eins drauf: Es gibt sogar
unendlich viele "Größen" von Unendlichkeit. Zu jeder noch so
großen Unendlichkeit gibt es also noch eine größere
Unendlichkeit. Vorstellen kann man sich dies nicht mehr wirklich,
aber wir dürfen dem Genie Cantor glauben, daß er damit recht
hat.
"Keine andere Frage", so zeigte sich der berühmte Mathematiker
David Hilbert (1862-1943) überzeugt, "hat den menschlichen Geist
je so tief bewegt wie das Unendliche." Bei der
Auseinandersetzung mit dem Unendlichen ist allerdings nicht
immer unterschieden worden, daß dieser Begriff mindestens drei
Bedeutungen hat: Das Unendliche in der Physik, das Unendliche in
der Mathematik und schließlich die absolute Unendlichkeit, wie
sie theologisch verstanden wird. Dabei ist es keineswegs
ausgemacht, daß sich das Unendliche in der Physik überhaupt mit
den Unendlichkeitskonzepten der Mathematik beschreiben läßt.
Tatsächlich versuchen Physiker, in ihren Theorien "Singularitäten"
zu vermeiden, bei denen eine physikalische Größe den Wert
annimmt. In der Schule haben wir gelernt, daß Elektronen
punktförmige Elementarteilchen mit einer bestimmten Masse und
elektrischen Ladung sind. Wenn das stimmt, dann wäre die
Materiedichte und die Ladungsdichte im Elektron unendlich groß.
Mathematiker haben damit kein Problem. Doch Physikern bereitet
das Bauchschmerzen. Sie haben daher in den vergangenen
Jahrzehnten Theorien entwickelt, die Elektronen und andere
Elementarteilchen als räumlich ausgedehnte Objekte beschreiben -
als sogenannte Strings.
Viele verbinden mit dem Begriff Unendlichkeit nicht so sehr
Physik oder Mathematik, sondern mit Religiösem und Mythischem.
"Der Mensch hat das tiefe Bedürfnis, in seinem Leben einen Sinn
zu erkennen. Insofern ist offenbar die Sehnsucht nach dem
Transzendenten und dem Unendlichen im spirituellen Sinne fest im
menschlichen Gehirn verankert", erklärt der Bremer Hirnforscher
Professor Gerhard Roth.
Die zeitliche Begrenztheit des menschlichen Lebens, verbunden
mit dem Bewußtsein davon, spielt sehr wahrscheinlich eine große
Rolle bei unserer Verführbarkeit für das Unendliche,
Transzendente, Esoterische. Nach christlichem Glauben stößt das
Osterfest ein Tor zur Unendlichkeit auf. Die Auferstehung Jesu
Christi verheißt den Gläubigen das ewige, also unendlich lange
Leben. "Die unzureichende Sinneswahrnehmung widerlegt die
Unendlichkeit nicht", hatte einst der Mönch Giordano Bruno
geschrieben, der für seine moderne Sicht des Universums auf dem
Scheiterhaufen landete. Doch beweisen lassen wird sich mit den
Methoden der Mathematik, Physik oder auch der Philosophie
niemals, ob es das absolut Unendliche gibt. Das wird immer eine
Frage des Glaubens bleiben. Gleichwohl hat das menschliche
Gehirn offenbar die Fähigkeit, sich mit Unendlichkeit
auseinanderzusetzen. Und auch Nicht-Christen werden
möglicherweise Thomas von Aquin zustimmen, der vor rund 800
Jahren sagte: "Unser erkennender Geist spannt sich, in dem er
etwas erkennt, ins Unendliche aus."
Artikel erschienen am Sa, 15. April 2006
22.04.2006
http://sufizmveinsan.com/
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